Radja7

Потому что у Вас высота в input задана 34px, при этом box-sizing: border-box и padding: 31px 0 30px 20px; Т.е. только внутренний отступ на 61px, на высоту место не осталось.
Задайте height: 63px; и уменьшите padding

Конечно, у тебя z-index меню - 1, а слайдера - 12. Меню выпадает на слайдер, соответственно слайдер перекрывает. Сделай индекс меню выше слайдера.