ProjectSoft

Всё великолепно сохраняется через chrome.downloads.download
Как пример сохранить полностью localStorage расширения

var result = JSON.stringify(localStorage,"", 4),
	obj = {
		"filename": "localStorage.json",
		"url": 'data:application/json;charset=utf-8,' + encodeURIComponent(result),
		"conflictAction": "prompt",
		"saveAs": true
	};
chrome.downloads.download(obj);

При этом будет обязательно показано окно «Сохранить как...»
Курить здесь chrome.downloads