Сохранить в LocalStorage.
Пишем listener и слушаем, когда обновляется значение громкости в плеере, то выполняем следующий код/команду:
localStorage.setItem('volume', ЗНАЧЕНИЕ);
При загрузке страницы, проверить, есть ли в локалСторайдж ключ volume...
localStorage.getItem('volume');
Для скиллов:
https://learn.javascript.ru/localstorage
Пример с кодом здесь, если кому-то в будущем понадобится.