Riĥard Brugekĥaim

Получить его можно на полпути создания окна. Не из самого Stage, а из FXMLLoader. А там уже и до элементов можно добраться.

FXMLLoader loader = new FXMLLoader(getClass().getResource("MyGui.fxml"));
Parent root = (Parent)loader.load();
MyController controller = (MyController)loader.getController();

Объясню со своего боку:
Не скажу про настройку напрямую в коде, а в SceneBuilder справа есть раздел Layout и график "прилипания": "имямодуля Constraints". Там задаешь расстояние от каждого края старшей панели. И неважно, как ты будешь тавоськать окно, модуль будет всегда стараться сохранять это расстояние от краев, и растягиваться в крив и вкось.

Конкретно над основным окном я таких финтов не делал, но думаю нечто схожее можно и там сделать.
В частности, объявить нужные вкладки в контроллере (вродь класс Tab), объект loader каждого контроллера указать дочерним для нужной вкладки.
Ну или переобъявить AnchorPane находящийся во вкладке на (AnchorPane) loader.load(); (хотя это уж совсем криво)
Не скажу что это оптимальные решения, но хотяб указал в каком направлении копать.