Через платные API подобное можно реализовать. Чтобы сразу сообщение клиенту отправлялось и начинался диалог. Пример сервисов:
https://chat-api.com/,
www.apiwha.com. Либо сделать, как в
https://chat2desk.com/ и просто написать, что есть номер, напишите туда, но есть и ссылка на веб вебрсию.