Никита Павлюк

JastaFly Вы пытаетесь изменить компонент "formOne" на "formTwo" внутри этих компонентов. Так не работает. В :is="componentName" необходимо передавать имя компонента на том же уровне (либо еще выше, но не ниже), что и сам <component is="name" /> . В Вашем случае достаточно вынести

<div class="form__head">
      <span class="form__change" @click="form='formOne'">Форма 1</span>
      <span class="form__change" @click="form='formTwo'">Форма 2</span>
    </div>

в рутовый компонент.
Либо использовать vuex. В каждом компоненте вызывать мутацию и менять флаг currentForm, например, в сторе. В Рутовом компоненте подключить геттер этого флага и менять директиву is

<template>
  <div id="app">
    <component :is="current"/>
  </div>
</template>

<script>
import Form1 from "./components/Form1.vue";
import Form2 from "./components/Form2.vue";
export default {
  name: "app",
  components: {
    form1: Form1,
    form2: Form2
  },
  computed: {
    current() {
      return this.$store.getters.current;
    }
  }
};
</script>

import Vue from "vue";
import Vuex from "vuex";

Vue.use(Vuex);

export default new Vuex.Store({
  state: {
    current: "form1"
  },
  getters: {
    current: (state) => {
      return state.current
    }
  },
  mutations: {
    setForm(state, payload) {
      state.current = payload;
    }
  },
  actions: {
    //
  }
});