Максим Киктев

<form method="POST" id="formx">
          <legend>Test From</legend>
          <label for="name">Название:</label>
          <input id="name" name="data" value="" type="text">
          <input value="Send" type="submit">
      </form>

      <script type="text/javascript" language="javascript">
        $('form#formx').on('submit', function(e) {
          e.preventDefault;
          var msg   = $(this).serialize();
            $.ajax({
              type: 'POST',
              url: 'res.php',
              data: msg,
              success: function(data) {
                //в data должен быть ответ сервера в формате JSON
                var response = JSON.parse(data); //массив в котором ваши данные
                $('#results').html(response); // {key} - ваш ключ из массива
              },
              error:  function(xhr, str){
                    alert('Возникла ошибка: ' + xhr.responseCode);
                }
            });
      });
    </script>
      <br><br>

      <div id="results">вывод</div>

$array = array();

$ch = curl_init();
$url = 'http://shikimori.org/api/animes/search?q='.$_POST['data'];
curl_setopt($ch, CURLOPT_URL, $url);
curl_setopt($ch, CURLOPT_HEADER, false);
curl_setopt($ch, CURLOPT_RETURNTRANSFER, true);
curl_setopt($ch, CURLOPT_USERAGENT, "User Agent");
if ($content = curl_exec($ch)) {
$array = json_decode($content, true);
}
curl_close($ch);

print($content);