Вариантов куча. Например можешь поместить форму в блок, который будет модальным окном.
Или же, опять таки поместив в блок, задать ему position как absolute или fixed и скрыть с помощью свойства display.
И тогда, с помощью js, повесить обработчик событий на клик по кнопке, который будет делать форму видимой.
Не ясно только, что значит
з.ы. сама форма, обработчик есть.
Так как обрабатывает запрос php скрипт, но никак не html форма. Быть может имелось ввиду, что обработчиком является страница, на которой расположена форма?
Вот пример:
codepen.io/AzZureman/pen/pvddQr 
