Вы используете зарезервированное в sql слово order, для названия столбца. Если другого варианта нет, то можно обернуть его кавычками. Да и f строки не рекомендуется использовать при работе с sql (
Почему не стоит использовать f строки в SQL Python запросах? и
Как сделать безопасно строку с sql запросом и различными параметрами?).
Попробуйте так:
async def add_order(self, order, name, tg, number, amount, promo, date):
with self.connection:
return self.cursor.execute('INSERT INTO orders ("order", name, tg, number, amount, promo, date) VALUES (?, ?, ?, ?, ?, ?, ?)', (order, name, tg, number, amount, promo, date))