Merzley

Перенесите session_start() в начало файла. Дело в том, что до вызова session_start() переменной $_SESSION вообще не существует. Поэтому выполнение функции save_file() всегда выглядит так:

• Пустая ли переменная $_SESSION['files'] - всегда да, т.к. переменной $_SESSION не существует
  
• запускаем сессию - появляется переменная $_SESSION, в которой есть элемент ['files'], хранящий данные из прошлого запроса
  
• очищаем элемент ['files'] - стирается всё, что приходило в прошлых запросах
  
• помещаем туда данные текущего запроса
  

При последующих запросах всё повторяется, поэтому и получается, что в сессии только одна запись сохраняется

Radio-инпуты проверяются на "включенность" свойством "checked" DOM-элемента.

Если совсем просто, придерживаясь текущей манере написания JS, функцию validateForm() дописываем до

function validateForm() {
        // This function deals with validation of the form fields
        var x, y, i, valid = true;
        x = document.getElementsByClassName("tab");
        y = x[currentTab].getElementsByTagName("input");
//         A loop that checks every input field in the current tab:
        for (i = 0; i < y.length; i++) {
//             If a field is empty...
            if (y[i].value == "") {
                // add an "invalid" class to the field:
                y[i].className += " invalid";
                // and set the current valid status to false
                valid = false;
            }
        }

        y = x[currentTab].querySelectorAll('input[type="radio"]');
        if (y.length > 0) {
            var checked = false;
            for (i = 0; i < y.length; i++) {
                if (y[i].checked) {
                    checked = true;
                    break;
                }
            }
            if (!checked) {
                /*
                    здесь добавть код, который применит
                    класс "invalid" для контейнера с radio-элементами
                 */
                valid = false;
            }
        }

        // If the valid status is true, mark the step as finished and valid:
        if (valid) {
            document.getElementsByClassName("step")[currentTab].className += " finish";
        }
        return valid; // return the valid status
    }

Единственное, надо учитывать, что radio-инпуты группируются по полю "name". В данном случае это обрабатывать не надо. Но если на одной вкладке окажется несколько групп radio-инпутов, то и проверять на "включенность" надо будет каждую группу отдельно.