Melz

Почитать наверное все-таки придется.

1. Ваш print_r($sum) по идее должен выбросить хотя бы варнинг тк вы создали $sum в цикле, а пользуетесь им вне цикла. В шарпах он там не будет существовать.

2. В шарпах есть типы. Создавать числа как строки никто не будет. Смыла нет. Так же нет смысла преобразовывать число обратно в строку.

Создать список с числами (не строками) от 100 до 999.

var numberList = Enumerable.Range(100, 999).ToList();

Не надо конвертировать число в строку (ваш метод так себе). Надо использовать остаток от деления на 10. Для 650 вернет 11.

int sum = 0;
for (int n = x; n > 0; sum += n % 10, n /= 10);

На олимпиадах ненавидят Linq :D
Весь ваш пример, включая генерацию списка. Сохраняет сумму в новый список.

var numberList = Enumerable.Range(100, 999).ToList();
            var result = numberList.Select(x =>
            {
                int sum = 0;
                for (int n = x; n > 0; sum += n % 10, n /= 10);
                return sum;
            });
            ;