Михаил

Разобрался, если кому понадобится в будущем скину код
1. Устанавливаем dmirogin/yii2-js-urlmanager

2. Далее нам понадобится добавить id к форме и полю input

echo Html::beginForm(['main/search'], 'GET', $options = ['id' => 'searchForm']);
        echo Html::input('text', 'request', '', $options = ['id' => 'searchinput']);
        echo Html::submitButton('Поиск');
        echo Html::endForm();

3. Пишем скрипт (перед закрывающим тэгом body)

$("#searchForm").submit(function (e) {
            e.preventDefault();
            var url = UrlManager.createUrl('main/search', {request: $("#searchinput").val()});
            window.location.replace(url);
        });

preventDefault(); - для переделки url и отправки своего, обязательно надо предотвратить стандартную отправку формы, что и делает эта функция

UrlManager.createUrl('main/search', {request: $("#searchinput").val()});

- тут как раз мы и формируем наш url с помощью расширения dmirogin/yii2-js-urlmanager
window.location.replace(url); ну а тут мы уже перенаправляем юзера на сформированный ранее url

При прописанном маршруте 'search/<request:\w+>' => 'main/search'
Нас успешно отправляет на Url вида http://test.com/search/123

Благодарю за ответы Дмитрия и Lander, хоть их ответы и не дали прямого решения, но направили меня в правильную сторону.