ManWithBear

Открываем профайлер и запускаем на 5000.
Видим, что из 26 секунд, необходимых программе на выполнение функции, почти все они уходят на завершение редактирования NSTextView.
pikucha.ru/iedeV

Теперь делаем финт ушами и выводим создание строки отдельно, отображение для неё отдельно. (Заранее извиняюсь за какие-то ошибки в коде, это мой первый раз на свифте)

@IBAction func TextGenGo(sender: AnyObject) {
        var i:int_least32_t;
        var string = outcomeText.string;
        for (i=1;i<=textCount.intValue;i++) {
            string = string! + String(i) + " ";
        }
        outcomeText.string = string;
    }

Теперь выполнение 20000 заняло пол секунды.

Вам сюда -> КЛИК!

Советую почти полностью переписать код, хорошенько его оптимизировав. Например бессмысленно находить каждый раз 2^(2n+1), зная значение 2^(2n-1). Тоже самое для факториала.
В итоге нахождение косинуса поместится в 1 цикл и для определения достижения необходимой точности не понадобится 2жды вызывать две довольно затратные функции.

UPD. И в этом условии:
abs(f(n,sum)-f(n+1,sum))<epsilon
должен стоять знак больше

UPD2. для double и float лучше использовать функцию

double fabs (double x);
float fabs (float x);
long double fabs (long double x);

UPD3. По поводу оптимизации, я имел в виду нечто такое:

double sin(double x, double EPS) {
    double result = x;
    double delta = x;
    for (int n=1; fabs(delta)>EPS; n++) {
        delta *= x/(2*n)*x/(2*n+1);
        delta *= -1;
        result+=delta;
    }
    return result;
}
double cosec(double x, double EPS) {
    return 1.0f/sin(x, EPS);
}