Михаил Чварков

вместо //here you can open new activity
сделай

Intent intent = new Intent(MainActivity.this, Main2Activity.class);
 startActivity(intent);
 verifySignInCode();

а по кнопке вызывай только verifySignInCode()

Для прототипа или небольшого приложения - хватит и firebase. Даже бесплатной его части. Если выходить на уровень "Instagram" то там уже понадобится свой сервер. Например, хорошо отзываются о амазоновских, но это не точно.