KateSin

в условии
for (let elem in obj) {
вы перебираете ключи в obj, после чего пытаетесь найти нулевой (?) элемент в ключе и проверить условие (т.е. буквально проверяете "а" === "1"). Логичней было проверять obj[elem] на соответствие условию.

Ок, сама спросила, сама же ответила, вдруг кому понадобится.

В actionProvider.js необходимо добавить функцию saver, которая будет сохранять message при вызове в функциях, формирующих сообщения бота (при вызове передаем объект, сформированный вызовом createChatbotMessage):

const saver = (message) => {
        if (localStorage.getItem('chat_messages')){
            console.log('SAVE BOT')
            const chat_messages = JSON.parse(localStorage.getItem('chat_messages'));
            console.log(chat_messages.history)
            chat_messages.history.push({id: message.id, message: message.message, type: message.type, loading: message.loading, widget: message.widget})
            localStorage.setItem('chat_messages', JSON.stringify(chat_messages))
        } else {
            console.log('ELSE SAVE BOT')
            var obj = {}
            obj.history = [{id: message.id, message: message.message, type: message.type, loading: message.loading, widget: message.widget}]
            localStorage.setItem('chat_messages', JSON.stringify(obj))
        }
    }

Также прописываем в messageParser.js в функции parse сохранение сообщения пользователя:

if (localStorage.getItem('chat_messages')){
            const chat_messages = JSON.parse(localStorage.getItem('chat_messages'));
            console.log(chat_messages.history)
            chat_messages.history.push({message: message, type: 'user', loading: false})
            localStorage.setItem('chat_messages', JSON.stringify(chat_messages))
        } else {
            var obj = {}
            obj.history = [{message: message, type: 'user', loading: false}]
            localStorage.setItem('chat_messages', JSON.stringify(obj))
        }

в файле bot.js убираем функцию saveMessages (все равно она не срабатывает) и видоизменяем функцию loadMessages:

const loadMessages = () => {
        if (localStorage.getItem('chat_messages')) {
            const messages = JSON.parse(localStorage.getItem('chat_messages'))
            return messages.history
        }
    }