Евгений

рабочий вариант:

<?php
require_once('db.php');
?>
<form method="post" action="">
<input type="date" name="delivery_date"> 
<input type="submit" value="Найти">
</form>
<?
if(isset($_POST['delivery_date'])) 
{
    $date = $_POST['delivery_date'];
    $SQL = "SELECT * FROM $dbtable WHERE delivery_date = '$date' AND delivery = 1";
    $result = mysqli_query($link, $SQL);

    while ($res = mysqli_fetch_assoc($result))
    {
        echo $res["user"]." (".$res["delivery_date"].")<br>";
    }
} 
?>

Читал что слеш в конце надо было ставить в старых версиях html или xhtml, в html5 по спецификации слеши в конце ставить не нужно у одиночных тегов