Доброго времени суток, Дмитрий.
Проблема проста, функция file_get_contents() читает текст из файла в переменную, затем echo выводит этот текст на экран как есть, не прогоняя код, содержащийся в этом файле, через интерпретатор php. Вместо echo используйте include или require.
В вашем коде есть проблема с безопасностью, при таком подходе злоумышленник сможет прочитать любой файл на вашем сервере, задав путь через адресную строку в переменную $_GET["page"].
Советую сильно подумать над вашей "архитектурой" движка. Если вы только учитесь писать на php и этот код написан на основе примера из книги, советую эту книгу выбросить. Так уже давно никто не пишет.
Посмотрите в сторону легких php фреймворков: Slim, Silex
