Как я помню, результаты сохраняются в таблицы Google Sheets, далее их можно читать с помощью API(https://developers.google.com/sheets/) и публиковать на сайте. Использовать можно как php так и javascript. Готовые клиенты к API есть на Github
Окно должно быть не модальным, если наследуетесь от диалога, вызывайте его через show() а не exec()
Или можно выставить нужные флаги окну через setWindowFlags
потренируйтесь на примере doc.qt.io/qt-5/qtwidgets-widgets-windowflags-examp...
