Валидна ли следующая структура html кода?

roswell: может, конечно, но лучше так не делать. Понятно, что дело в доктайпай тайтлах и прочем

Как скрыть элемент див по клику на другой элемент?

какая-то ошибка. Не переходи на страницу с песочницей

Почему не срабатывает ajax запрос?

вашу ж машу, сколько нервов. А сейчас очевидно, что вместо отправки срабатывает дефолтный submit.
Нижайший вам мой : )

Синтаксис JQ. Как указать переменную, вместо значения в функции .css()?

Да, дело в относительных путях, спасибо