По первому вопросу ответ - да, можно. Но нужно применить технологию WebSocket, обычный AJAX работать не будет.
Потому что AJAX может обращаться только по тому же адресу откуда была прочитана страница.
Сам сайт может находится на домашнем компьютере.
Насколько видно из примера -
https://randomnerdtutorials.com/esp32-websocket-se...
соединение WebSocket сделать на стороне сервера очень просто.
По второму вопросу.
Для MQTT нужен брокер MQTT. Брокеры типа Mosquitto могут работать на любых компьютерах.
В том числе и на том на котором находится сайт. Сами страницы сайта должны применять клиента MQTT на JavaScript.