Илья Бражников

Мне тоже кажется, что “тестовое задание”, это желание получить результат сложной работы бесплатно. Я в Москве сталкивался с таким, и заказчики эти со своими “тестовыми заданиями” висят на avito месяцами регулярно обновляя объявление.
Прошу прощения за оффтоп.

В таких случаях нужно использовать хелпдеск. У каждого менеджера свой логин, каждый видит всю очередь входящих писем, вся история переписки сохраняется внутри заявки и доступна всем.

1. Подключите по IMAP оба аккаунта к какому-нибудь почтовому клиенту, например MS Outlook.
2. В нужной папке выделяете все письма и перетаскиваете мышью в нужную папку.

Запустите mail без аргументов и увидите, есть ли письма в ящике. Если приходят “отбойники” после каждой такой отправки, надо смотреть, что в них написано. У меня было с гугловской почтой подобное, но там сам гугл отправлял в спам письма от username@localhost.

В нулевых подымал почтовый сервер на своих железках на базе Qmail, к нему прикручивалась какая-то веб-морда, да и у серверов на базе Windows тоже есть встроенные.
1. Будет работать и с пробросом.
2. Домен просто нужен для работы почтового сервера, какой у вас DNS сервер? Можно зарегистрировать свой домен и повесить на DNS Яндекса, это будет надежней и бесплатней.
3. Ее нужно прописывать на том же сервере, где и прописан домен.
4. На DNS сервере.