Александр Белов

Посмотрите данные темы:
Длинная арифметика
Динамическое программирование
Теория графов и чисел (криптография)
Рекурсия, перебор
Сортировка и последовательности
Комбинаторика
Простая математика
Геометрия
Целочисленная арифметика
Математическое моделирование
Жадный алгоритм
Структуры данных
Двумерные массивы

Почитайте о них, разберите каждую.

Архив задач и тренировка здесь:
acmp.ru
acm.timus.ru
Codeforces
Это очень полезные ресурсы (системы проверки), в которые входят очень интересные и трудные задачи, как раз предназначенные для олимпиадного программирования.
Ознакомьтесь здесь:
Олимпиадное программирование для новичков

Набор языков программирования в каждой системе разный. Вот некоторые из них:
Набор яп для тимуса
Для acmp.ru

Но для начала почитайте и разберите эти ресурсы/книги про алгоритмы:
algolist.manual.ru
Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн K. - Алг...

Ну и конечно, математика это очень хороший плюс. Программист без математики далеко не уйдет, а будет сайтики ваять.

И последнее, чтобы Вас смотивировать. Николай Дуров (брат того самого Павла), Андрей Лопатин, Anton Maydell и другие создавшие ВК и Telegram стали теми, кем сейчас они являются благодаря олимпиадному программированию.

Я делал вращение Луны вокруг Земли, одновременно с вращением Земли вокруг Солнца, поэтому подскажу.

Вот вращение Луны относительно Земли. Разберитесь, вроде должно быть все понятно.

xx и yy - координаты Луны

// TrackBar1->Position — скорость вращения. Не обращайте внимания. Можете поставить 1.
xx = xx * cos(M_PI / 31.05819323 * TrackBar1->Position) + yy * sin(M_PI / 31.05819323 * TrackBar1->Position);

yy = -xx * sin(M_PI / 31.05819323 * TrackBar1->Position) + yy * cos(M_PI / 31.05819323 * TrackBar1->Position);

Image1->Canvas->Pen->Color = clGray;
Image1->Canvas->Brush->Color = clGray;

Image1->Canvas->Ellipse(
   width_window / 2 - earth_xx - xx - radius_moon, 
   height_window / 2 - earth_yy - yy - radius_moon, 
   width_window / 2 - earth_xx - xx + radius_moon, 
   height_window / 2 - earth_yy - yy + radius_moon
);