Для доступа внутренних клиентов к сайту по имени site.ru Вам нужно:
1. Либо всегда иметь подключение к сети Интернет и тогда разрешение имени сайта будет идти через внешние ДНС сервера
2. Либо держать у себя зону site.ru с единственной записью same as parent folder указывающей на 192.168.1.10 на внутренних ДНС серверах