Интересный вопрос.
С помощью реверс-инжиниринга получен ответ: здесь неявно используется
deep linking. Более конкретно: после нажатия на кнопку вызывается метод
openTelegramLink с параметром
https://t.me/UTasksBot?startgroup=1. Открытие такой ссылки (в любом контексте, не только в мини-приложении) позволяет выбрать группу и добавить в неё бота.
А дальше всё плюс-минус понятно: отслеживаем
событие my_chat_member и реагируем на него соответствующим образом. Если нужно узнать об этом событии из веб-приложения, можно использовать сокеты или long polling.