Custom emoji entities can only be used by bots that purchased additional usernames on Fragment
You can also upgrade collectible usernames to assign them to Telegram bots. To upgrade, assign the username to a bot and pay a one-time fee.
Если коротко: это будет очень дорогая задача (найти точную цифру не получилось, оценка снизу — 600 000 ₽). Не уверен, что вам это нужно. Если нужно — информация по покупке коллекционного имени для бота есть по второй ссылке, а непосредственно по вставке кастомных эмодзи — по первой.
Судя по URL из примера, вы не разделяете два разных варианта запуска мини-приложения:
Direct Link Mini App. Пример — на первом скриншоте. Для настройки используйте команду /newapp. В процессе нужно будет указать URL, который в данном конкретном примере равен app (важно: это не какого-то специальное ключевое слово). Сниппет будет рендериться по прямой ссылке: https://t.me/DurgerKingBot/menu
Main Mini App. Это то, что вы настроили. Главный результат — большая кнопка для открытия мини-приложения в окне информации о боте. Сниппет будет рендериться с GET-параметр startapp: https://t.me/DurgerKingBot?startapp
Если необходимо, можно настроить оба варианта запуска одновременно.
Это особенность клиента Телеграма, которую не получится отключить. Помните, что в группе может быть несколько ботов, и было бы хорошим тоном научить вашего бота реагировать только на команды, которые обращены к нему. Конечно, это может быть неактуально в конкретной ситуации, но в общем случае это правильный подход.