Dimon

setState - это асинхронный метод, если ты сделал setState({ targetValue: value }), то это не значит , что в следующей строке у тебя будет актульное значение this.state.targetValue:

handleChange(e) {
    e.preventDefault();
    const value = e.target.value;
    console.log(e.target.value);
    this.setState(() => {
      return { targetValue: value };
    });

    if (value.length > 0) {
      this.setState((prevState) => {
        const newUsers = prevState.users.filter((el) => {
          return el.name.match(value);
        });
        console.log(newUsers);
        return { users: newUsers };
      });
    }
    if (value === "") {
      axios
        .get(`https://social-network.samuraijs.com/api/1.0/users?count=20`)
        .then((response) => {
          console.log(response);
          this.setState(() => {
            return { users: response.data.items };
          });
        }, () => console.log(this.state.users)); // тут будут новые users
    }
    console.log(this.state.users); // тут не будет новых users
  }

success: function(json) {
   var obj = jQuery.parseJSON( json);
    $('#ajax_comment_' + only_id).append(obj); 
 }

slick там в настройках {vertical: true}