У вас установлено соединение с базой?
$link = mysql_connect('localhost', 'username', 'password');
$result = mysql_query("SELECT `name` FROM `added_users`",$link);
// ...
mysql_query возвращает
false в случае, если запрос произошел с ошибкой.
Можно написать
var_dump(mysql_error()); чтобы получить код этой ошибки.
Как уже упоминали здесь в ответах - если есть возможность - пользуйтесь mysqli или PDO.
