А у Вас из-за jQuery может отправляться не как $_POST, а как $_GET.
Попробуйте в коде заменить $_POST на $_REQUEST.
Потом у Вас странное условие, поля будут заполнены только если все данные пришли, лучше все-таки как-то так. И добавить экранирование входящих данных с помощью htmlspecialchars(.., ENT_QUOTES);
<?php
$name = htmlspecialchars(@$_REQUEST["name"], ENT_QUOTES);
$second = htmlspecialchars(@$_REQUEST["second"], ENT_QUOTES);
$email = htmlspecialchars(@$_REQUEST["email"], ENT_QUOTES);
$message = htmlspecialchars(@$_REQUEST["message"], ENT_QUOTES);
$to = "myMail@gmail.com";
$subject = "A new message from website!";
$body = "Имя:" . $name ."\n" . "Отчество:" . $second ."\n" . "Имейл: " .$email ."\n" . "Сообщение:" . $message;
$header = "From :" .$email;
mail($to, $subject, $body, $header);
?>