В документации в быстром взгляде не нашел, как поменять свойство autoplay, поэтому такой вариант при загрузке страницы, ты ставить слайдер на паузу вот пример
ссылка, затем когда пользователь нажимает на кнопку, запускаешь таймер на 3 секунды
https://www.w3schools.com/howto/howto_js_countdown.asp и запускаешь autoplay у slick, а потом как у таймера истечет время останавливаешь autoplay у slick