Cage

SELECT DISTINCT
  `t1`.`ID`          AS `ID`,
  `t1`.`price`       AS `price`,
  `t1`.`title`       AS `title`,
  `t1`.`category_id` AS `category_id`,
  `t1`.`date`        AS `date`,
  `t1`.`type`        AS `type`,
  `t1`.`country_id`  AS `country_id`
FROM `ozago_ads` `t1` 
  INNER JOIN `ozago_ads_meta` `t2` ON `t2`.`id_ad` = `t1`.`ID` AND `t2`.`meta_key` IN (44, 370, 51, 46, 49, 50)
WHERE `type` = '1' AND `region_id` = '4891' AND `category_id` IN ('198') AND `price` > '40000' AND `price` < '200000';

как то так
SELECT t.*, count( ts.teacher_id) as c
FROM teacher t
INNER JOIN teacher_student ts ON t.id= ts.teacher_id
GROUP BY t.id
ORDER BY c DESC
LIMIT 2

вообщем от все уже написали, резюмирую относительно поиска по мускулю
1. Индексы на parengiud и formalname, причем индекс на название можно ограничить 6-7 символами, искать `parengiud` = '...' AND `formalname` LIKE "%ленин", parentguid в условии поиска ставить первым - так будет быстрее.
2. Полнотекстовый поиск если позволяет движок.

1й вариант даже наверно предпочтительный

Возможно стоит условия из WHERE убрать в ON

SELECT * FROM table0 
LEFT JOIN table1 ON table0.val1 = table1.val1 AND table1.company_id = $company_id
LEFT JOIN table2 ON table0.val2 = table2.vav2 AND table2.company_id = $company_id 
LEFT JOIN table3 ON table0.val3 = table3.val3 AND table3.company_id = $company_id
LEFT JOIN table4 ON table0.val4 = table4.val4 AND table4.company_id = $company_id
WHERE 
  table0.company_id = $company_id

Такой запрос будет работать несколько быстрее за счет того что не будут джоинится лишние строки не попадающие под условия

Потому что у вас указано условие для выборки

'condition' => 'commentariesToDetail.module = :module',

соответственно вы пытались выбрать все записи Publications у которых есть комментарии со значением поля 'module' равным Commentaries::MODULE_PUBLICATIONS

уберите условие или замените эту строку на следующую :
'on' => 'commentariesToDetail.module = :module',

UPDATE `table_name` SET `sort` = `sort` + 1 WHERE `sort` >1;
UPDATE `table_name` SET `sort` = 2 WHERE `id` = 999;