1) Либо делать отдельную форму на каждую кнопку (как предложили выше)
2) Либо
<button type="submit" name="edit" value="123">
Редактировать
</button>
<button type="submit" name="delete" value="123">
Удалить
</button>
И на сервере проверять, есть ли в запросе edit или delete, и если есть, то какое у них значение.