Ольга

у Jquery.ajax есть коллбек .done, вы можете вызывать его в запросе, получать свой счетчик и сразу обновлять, например:

#Добавляю товар в корзину 
$(document).ready(function(){

  $("#add_to_cart").on('click', function() {
    var article = $("#article").val();
    var size = $("#size").val();
    var quantity = $("#quantity").val();
    
    $.ajax({
      url: window.location.href,
      type: 'POST',
      data: { 'article': article, 
          'size': size, 
          'quantity': quantity
        },
       beforeSend: function(){
        $("#add_to_cart").prop("disabled", true);
      },
      dataType: 'html',
      .done(function(data) {
         //здесь находим html-элемент содержащий информацию о добавленных в корзину товарах и присваиваем ему новое значение
       })
    })
  });
});