Посторонним В.

Всё ясно, showAdd() вызывался всё-таки через промежуточный публичный метод add().

Помогло использование cURL с настройками:
setOpt(CURLOPT_SSL_VERIFYPEER, false);
setOpt(CURLOPT_SSLVERSION, 4);

Всё оказалось просто: дети использовали одно поле в памяти (Registry::$instance), так как в них самих это поле не было переопределено. Потому static::$instance в родителе - это было всё равно что self::$instance (обращение к свойству родителя).

Чтобы мой код заработал как надо - пришлось объявить protected static $instance в наследниках (при этом в родителе его вообще можно убрать). Теперь static::$instance обращается к статическому свойству вызванного класса, что мне и нужно было.

Помогло пересоздание проекта из файлов (с предв. удалением папки idea).

Так и не нашёл, что же было настроено в Open-Server. Сделал просто свой Exception handler:

set_exception_handler(
    function ($e) {
        echo 'Uncaught Throwable ', $e;
    }
);

Теперь показывает например:

Uncaught Throwable Exception: Message in D:\��� �������\domains\site.local\index.php:11
Stack trace:
#0 {main}

То есть фактически вся инфа есть в __toString() эксцепшенов.

Решено в PHP 7. Ура, товарищи.

Оказывается, надо было прописать полный путь к папке ext.

extension_dir = c:\php\ext\

Как оказалось, есть аж два способа получить полное имя реально вызываемого касса (с неймспейсом):

$self = static::Class;
$self = get_called_class();

Вот пример статического PersistenceFactory без создания самоэкземпляров:

abstract class StaticFactory
{
    protected static function getForNS($class_name, ...$args)
    {
        $self_class = '\\'.static::Class; // (Or get_called_class())
        $ns = substr($self_class, 0, strrpos($self_class, '\\'));
        $class_full_name = $ns.'\\'.$class_name;
        return new $class_full_name(...$args);
    }
         
    public static function getDomainObjectAssembler()
    {
        $self = static::Class;
        return self::getForNS('DomainObjectAssembler', static::Class);
    }
}

is_empty(array_diff($arr1, $arr2));

Достаточно было прописать return null при !file_exists - теперь стандартный обработчик сам пишет, какой класс в каком файле не был найден:

Fatal error: Class 'asoft\menus\mapper\asoft\mapper\Mapper' not found in E:\OpenServer\domains\audiophilesoft.local\_classes\asoft\menus\mapper\Mapper.php on line 5

Сделал так:
Контроллер модуля подгружает настройки модуля в специальный синглтон Configurator (там же хранятся и глобальные настройки), затем при необходимости объекты настроек используют любые классы - так View подгружает себе настройки в конструкторе, а затем в каждом методе, отвечающем за конкретную страницу, формирует заголовок (который потом отображается в подгружаемом шаблоне).

Всё, заработало. Надо было просто поместить автозагрузчик в глобальное пространство. Вынес его в отдельный файл:

namespace {
    function __autoload($class)
    {
        require_once str_replace("/", DIRECTORY_SEPARATOR, $_SERVER['DOCUMENT_ROOT'])
                                    .DIRECTORY_SEPARATOR
                                    .'classes'
                                    .DIRECTORY_SEPARATOR
                                    .$class.'.class.php';
    }
}

Нашёл одно интересное решение.
Вы правы - кто говорил, что я фактически не использовал ООП подход, т. к. даже не создавал объекты. Вот, как задача решается с применением синглтона:

class Configurator
{
    static private $_instance = NULL;
    private $ROOT;
    
    private function __construct()
    {
        $this->ROOT = $_SERVER['DOCUMENT_ROOT'];
    }
    
    private function __clone()
    {
    }
    
    public static function getInstance()
    {
        if (is_null(self::$_instance)) {
            self::$_instance = new self;
        }
        return self::$_instance;
    }
    
    public final function __get($name)
    {
        return $this->$name;
    }
}

Далее пишем $config = Configurator::getInstance() и получаем нужные значение обычным способом: $config->ROOT.
Изменить значение переменной извне нельзя, так что это именно то, что я хотел, аналог констант в процедурном интерфейсе. И без создания лишних объектов.

Якоря начала ^ и конца $ строки решили проблему.