Артур

class MyWidget extends yii\base\Widget
{
    public static function widget($config = [])
    {
        $data = Yii::$app->cache->get('key'); // логику формирования ключа нужно сделать исходя из задачи
        if ($data === false) {
            $data = parent::widget($config);
            Yii::$app->cache->set('key', $data);
        }
        
        return $data;
    }
}