Можно достать UserAgent/название браузера/версию браузера и т.д но это все очень плохо подходит для идентификации пользователя т.к.
он в любой момент может
подменить эти данные. Гораздо проще это сделать, генерируя в расширении уникальный ключ (хоть простой md5).
Как это выглядит на практике. Пользователь устанавливает расширение, происходит генерация ключа и сохраняется, например в localStorage или
chrome.storage. Затем можно отправлять все запросы, на сервер, используя в качестве идентификатора подписи данный ключ.