AlxMrz

1) Отправка просто через форму перезагружает страницу. Работает в принципе во всех случаях.
2) Отправлять форму через ajax удобно при валидации введенных полей. Однако это не сработает, если у клиента будет отключен JavaScript (такого я еще не встречал).

Тут скорее вопрос не "Как лучше?", а "Как надо?" в контексте какой-то задачи. В целом, используйте первый вариант, потом, если будет надо, переделаете под второй.

1) Проверьте данные, которые вы получает после ajax запроса в функции success. Сделайте в начале console.log(data). В консоли отобразятся выведенные значения.
2) Проверьте, что в следствие запроса отправлены корректные данные на сервер. Это можно сделать через консоль разработчика(F12). В Google Chrome вкладка network в консоли.
3) Запустите скрипт возврата данных из базы независимо от ajax запроса, чтобы убедиться, что данные возвращаются корректно. Попробуйте сделать запрос без bindValue напрямую. Уберите все лишнее для теста.
4) Установите обработчики ошибок, чтобы при регистрации неверных данных возвращалось значение в виде Exception или любом другом, которое можно было бы отследить.
5) Олег верно подметил, что $std->fetch(PDO::FETCH_ASSOC) возвращает значение, а сам $std будет объектом PDOStatement. Посмотрите, что вернет метод fetch.