Александр

Методы инициализируются в контексте window, у которого нет вашего window.delay, а если и есть, то не тот.
У вас q создается через вызов метода debounce lodash.
Потом уже Vue биндит инстанс компонента.

Еще один пропаченый вариант ( на codepen ) из документации

<script src="https://cdn.jsdelivr.net/lodash/4.13.1/lodash.js"></script>
<div id="debounce-search-demo">
  <input v-model="searchQuery" placeholder="Type something">
  <strong>{{ searchIndicator }}</strong>
</div>

new Vue({
  el: '#debounce-search-demo',
  data: {
    searchQuery: '',
    searchQueryIsDirty: false,
    isCalculating: false,
    delay: 5000
  },
  computed: {
    searchIndicator() {
      if (this.isCalculating) {
        return '⟳ Fetching new results'
      } else if (this.searchQueryIsDirty) {
        return '... Typing'
      } else {
        return '✓ Done'
      }
    },
    debouncedSearch() {
      return _.debounce(this.search, this.delay)
    }
  },
  watch: {
    searchQuery: function () {
      this.searchQueryIsDirty = true
      this.expensiveOperation()
    }
  },
  methods: {
    // This is where the debounce actually belongs.
    expensiveOperation: function(){
      return this.debouncedSearch()
    },
    search() {   
      this.isCalculating = true
      setTimeout(() => {
        this.isCalculating = false
        this.searchQueryIsDirty = false
      }, 10000)
    },
  }
})