Bogdan Dolgopolov

В случае, если использовать observerUpdate, вы столкнётесь с сотнями повторений выполнения функции, для решения проблемы достаточно сделать повторную инициализацию после ajax запроса

function loadProjectsPostType(category) {

            $.ajax({
                url: '/wp-admin/admin-ajax.php',
                type: 'POST',
                cache: true, // включить кэширование
                data: {
                    action: "load_projects",
                    category
                },

                beforeSend: () => $('.loader').addClass('active'),

                success: function (data) {
                    $('.loader').removeClass('active');
                    $('.projects__items').html(data);

                    const projectSliders = document.querySelectorAll('.project-slider')

                    projectSliders && projectSliders.forEach(slider => {

                            let projectSlider = new Swiper(slider, {

                                observer: true,
                                observeParents: true,
                                observeSlideChildren: true,
                                navigation: {
                                    nextEl: slider.querySelector('.swiper-button-next'),
                                    prevEl: slider.querySelector('.swiper-button-prev'),
                                },
                                spaceBetween: 20,
                                slidesPerView: 1,

                            })/* projectSlider */
                    }) /* forEach */
                },

                error: function(xhr, status, error) {
                    $('.error').addClass('active')
                    console.log("Ошибка запроса. Код ошибки: ",error);
                }
            })
        }