Abcdefgk

Короче, я тут поковырялся. И у меня получилось за Нгинксом его заставить работать, но только - создавая "пространство имён" принудительно.
На клиенте запрос на подключение выглядит так
var socket = io('http://localhost/sock');
на сервере так

var io = require('socket.io')(3001); // спицально ему другой порт прикрутил, для "чистоты эксперимента"
var chat = io.of('/sock');
chat.on('connection', socket => { ...

и дальше везде, где был io в коде - заменить на переменную chat - типа chat.to(socket.id).emit... и т.д. (хотя, видимо, можно было и просто - io переопределить: io = io.of('/sock');).
И наконец, Nginx его перенаправляет так

location /sock {
						proxy_set_header Upgrade $http_upgrade;
						proxy_set_header Connection "upgrade";
						proxy_http_version 1.1;
						proxy_set_header X-Forwarded-For $proxy_add_x_forwarded_for;
						proxy_set_header Host $host;
						proxy_pass http://127.0.0.1:3001/sock;
				}

Так всё зафурычило.