Евгений

Прежде всего, необходимо понимать, как у тебя меняется роут (стало больше сегментов или меньше).

Чтобы это можно было вычислить, нужно сравнивать предыдущий роут с текущим при апдейтах компонента.

Вариант #1: изменить SFC на класс и воспользоваться componentWillReceiveProps. Соответственно там трекаешь, как изменился роут и пишешь в setState.

Вариант #2: мемоизация каким-нибудь HOC'ом, например так

const withPrevProps = (Component) => {
    let prevProps = null;
    return (props) => {
        const component = (
            <Component
                {...props}
                prevProps={prevProps}
            />
        );
        prevProps = props;
        return component;
    };
};

const App = withRouter(withPrevProps(({ location, prevProps }) => (
  ...
)));

В обоих случаях, в рендере выставляешь классы в соответствии с тем как у тебя изменился роут.

<CSSTransition
    classNames={'slide-' + slideDirection}
 ...

Живой пример не делал, но кажется это должно подойти