0xD34F

Потому что к этим слайдам не привязано никаких обработчиков. А не привязано потому, что это копии слайдов - slick делает копии для создания иллюзии круговой прокрутки.

Использую карусель vue-slick...

Я так понимаю, вы говорите про эту?

Есть кнопка "добавить слайд", после которой нужно "перезапустить" слайдер. <...> Пробую использовать в методе добавления слайда this.$refs.slick.$reSlick(), ничего не получается.

Что неудивительно - внутри reSlick карусель уничтожается и сразу же создаётся. При уничтожении вся внутренняя разметка кроме картинок вырезается, сами же картинки slick держит в отдельном div'е - то есть, только что добавленный слайд попадает в корневой элемент slick'a и сразу же удаляется.

Так что порядок действий при изменении набора слайдов должен выглядеть как-то так - уничтожить карусель, изменить разметку, создать карусель. То есть, вызов $refs.slick.destroy; затем изменение данных, на основе которых строится разметка слайдов; и наконец, вызов $refs.slick.create, обёрнутый в $nextTick.

Заниматься подобной ерундой особого смысла не вижу, лучше будем уничтожать и создавать заново экземпляр самого компонента. Для этого назначим ему key, чьё значение будет зависеть от набора данных, на основе которых строится разметка слайдов. Например.

Вместо beforeChange используйте afterChange. Или nextSlide вместо currentSlide. Потому что currentSlide в beforeChange - это тот, с которого вы уходите, т.е., сейчас вы выводите номер слайда с опозданием на один шаг.