.partners__slider .slick-track li.slick-active:nth-of-type(2) {
background-color: red;
}
.slick-active{ background-color: red; } /* Выбрать все активные слайды */
.slick-slide + .slick-active + .slick-active{ background-color: red; } /* Выбрать второй активный слайд */
:nth-of-type
<li>
. Поэтому это не прокатит.