Почему площадь криволинейной трапеции это разность первообразных?

Question

[Bitmag]

Сотни пояснений что такое определенный интеграл показывают столбики, из них сумму бесконечно малых и вдруг - рисуют знак определенного интеграла и говорят что вычислить его можно разностью первообразных. Но почему? Как до этого дойти? Почему именно первообразные? Ну и соответственно почему площадь это интеграл, которая именно так вычисляется? Только не отвечайте "по определению"...

Comments

[Lynn «Кофеман»]

mathprofi.ru/chto_takoe_integral_teorija_dlja_chai...
Вроде тут неплохо объяснено.

Ну вообще гуглить формулу (теорему) Ньютона-Лейбница

[AVKor]

Вопрос не имеет отношения к алгебре.

[Bitmag]

Lynn «Кофеман», спасибо. Прочитал. Не понял. Пока вижу что площадь прямоугольника при основании стремящемуся к 0 тоже стремится к 0. Сумма чего либо стремящегося к нулю тоже стремится к 0. Уверен что несу бред, но пока иначе понять не могу...

[Lynn «Кофеман»]

> Сумма чего либо стремящегося к нулю тоже стремится к 0
Вот это неверно

Answer 1

[Леонид]

Что такое интеграл? Если вспоминать еще школьное объяснение, то это "тупо" сумма всех прямоугольников, которые помещают внутрь площади, которые рисуют в каждом учебнике. Форма записи говорит "сумма каждого значения функции в каждой точке при бесконечно малом приращении", тобишь этот dx буквально значит бесконечно малый икс. Это, своего рода математически говорит "сдвигаем следующее значение, которое найдём, на чуть чуть". По сути, мы находим сумму всех высот линий, которые можно впихнуть под функцию.

Почему именно работает формула Ньютона Лейбинца, советую посмотреть доказательство, разобрать по пальцам. Понять, что значит предел суммы.
Попытался пояснить на пальцах, математически объяснение может быть некорректным, так что обязательно ищи доказательства всех формул, очень помогает

Comments

[Bitmag]

Это самое чуть-чуть стремится к нулю. Соответственно площадь стремится к нулю... Сумма этих площадей стремится к нулю... Не понятно.

[Леонид]

Bitmag, dx это не умножение, а просто часть записи интеграла, которое имеет другой смысл. Он говорит: приращение этой функции стремится к нулю (не равно 0), т.е мы увеличиваем точность расчёта немного по чуть чуть .

Answer 2

[AVKor]

Г. М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. Т. 1. М.: Наука, 1968. п. 156.

Comments

[Bitmag]

Выдержку можно? Только если там написано как везде - то будет так же не понятно для меня...

[AVKor]

Bitmag, Книга легко ищется и скачивается в хорошо известном всем месте.

Answer 3

[Григорий Боев]

Сначала надо понять что такое производная - по сути это скорость изменения функции. А первообразная - как раз наоборот - то как накапливается значение, если скорость задана.

Например, есть бассейн в которую льётся вода со скоростью v1(t) = 5. Тогда уровень воды в бассейне h1(t) = h0 + 5*t (<< а эта функция и есть первообразная)
Или если скорость v2(t) = t, то h2(t) = t*t/2
Надо построить таблицу руками и нарисовать график - с всё станет понятней.

Comments

[Bitmag]

Спасибо за ответ. С производной все кристально ясно. Это просто дробь. Отношение приращения функции к приращению аргумента. Но я не понял почему действием обратным нахождению скорости изменения функции является нахождение накопления этого изменения...

[Григорий Боев]

Можно ещё по размерностям понять. Скорость измеряется в м/с, т.е. ds/dt (перемещение в метрах на время в секундах) или производная перемещения по времени. Тогда чтобы найти перемещение надо сделать обратное действие ds=v*dt. Остаётся только получить все ds и суммировать их. Это и называется интеграл. В начале изучения физики (в школе, например, в 7 классе) v=const, поэтому вместо нахождения интеграла по-честному, используют его свойство - площадь под графиком. А при постоянной скорости график - горизонтальная линия и площадь - это площадь прямоугольника. Вот и получается формула s2-s1=(t2-t1)*v
Чтобы понять это, возможно надо сначала "поверить", для этого предлагаю построить несколько графиков, а ниже - то как меняется площадь под графиком. Для простых функций, вроде y=3; y=x