Есть ваш сайт и есть платежная система. Нужно сделать так чтобы выбранная платежная система работала на вашем сайте.
Разные платежные системы предоставляют разные способы интеграции: какая-то платежная система дает возможность интеграции с помощью вставки HTML кода, кто-то дает возможность с помощью API.
Иными словами, API - один из способов интеграции. Так же API - это обычные запросы к серверу платежной системы.
Например, при нажатии на кнопку "Оплатить", наш сайт делает запрос на сервер платежной системы, что пользователь хочет что-то оплатить на какую-то сумму