Является ли данное доказательство верным?

Question

[OneDeus]

Доказать A\(B\C)=(A\B)∪(A\C)
Доказательство:
x ∈ A ∖ (B \ C)
x ∈ A, при условии х ∉ B \ C
Последнее условие означает, что х ∉ B и х ∉ С (поскольку он не принадлежит обоим B и C).
Таким образом: (x ∈ A ∖ B) и (x ∈ A ∖ C)
То есть, x ∈ (A ∖ B) ∪ (A ∖ C)
Только что доказанный подтекст:
x ∈ A ∖ (B \ C) ⟹ x ∈ (A ∖ B) ∪ (A ∖ C)

Можно ли данное доказательство считать верным?

Answer 1

[Sand]

Нельзя

x ∈ A, при условии х ∉ B \ C
Последнее условие означает, что х ∉ B и х ∉ С (поскольку он не принадлежит обоим B и C).

Возьмем B=[2;5], C=[4;6], тогда B\C=[2;4), x=5, x содержится и в B и в C, при том что х ∉ B \ C

Comments

[Sand]

OneDeus, я ж написал Вам цитату где ошибка, утверждение о следование одного из другого ошибочно

[OneDeus]

x ∈ A ∖ (B \ C)
x ∈ B и x ∈ С, при условии х ∉ B \ C
Таким образом: (x ∈ A ∖ B) и (x ∈ A ∖ C)
То есть, x ∈ (A ∖ B) ∪ (A ∖ C)
Только что доказанный подтекст:
x ∈ A ∖ (B ∖ C) ⟹ x ∈ (A ∖ B) ∪ (A ∖ C)

Такое доказательство будет верным?

[Sand]

OneDeus, нет, не будет. В доказательстве должна быть однозначность, Вы же накладываете доп. условие х ∉ B \ C
Зы: ошибся, допущение x ∈ B и x ∈ С ошибочно

[OneDeus]

А вообще будет ли данное утверждение верным? в заграничной книжке нашёл
A\(B\C) = A\(B ∩ X\C) = A ∩ (X\(B ∩ X\C))
= A ∩ (X\B ∪ C) = (A ∩ X\B) ∪ (A ∩ C)
= (A\B) ∪ (A ∩ C)

[Sand]

OneDeus, да будет, Вам доказательство написать? Или сами разберетесь с базовыми принципами раскрытия скобок?

[OneDeus]

Sand, увы.. сам не могу разобраться, если вам будет несложно, напишите пожалуйста, будьте добры)

[Sand]

OneDeus, хм, похоже не будет это утверждение верным, в буржуйской книге правильно написано, это и является доказательством ложности утверждения исходного