Можно ли исходя из аксиом, опровергнуть или доказать эти же аксиомы и аксиомы логики?

Question

[XOROX]

Считалось ли ранее, что это можно сделать?

Comments

[Денис Загаевский]

Каких основаниях? Непонятно, о чём вопрос.

[XOROX]

Денис Загаевский, об аксиомах и базовых определениях.

Answer 1

[Сергей]

Математика не может судить об аксиомах. На то они и аксиомы, что вводятся в математику как утверждения не требующие проверки.
На основе аксиом строятся соответствующие выводы, которые выражаются в виде теорем, лем и т.п. и которые требуют доказательств (путем применения аксиом, ранее доказанных теорем, лем и других высказываний).

Логика - это такая же часть математики, как алгебра, геометрия и т.п. И там так же есть свои аксиомы.
Если набор аксиом будет другой, то это уже будет другая логика. Ближайшая аналогия: геометрия Евклида, геометрия Лобачевского и т.п.

Comments

[XOROX]

А откуда нам тогда знать, что хоть одно из наших вычислений верно относительно действительности?

[Фокс Йовович]

Tom_Xor, потому что математика никакого отношения к действительности не имеет, она - всего лишь буковки и символы на бумаге.

Действительностью занимается физика, пока что у них теория неплохо с этой действительностью согласуется.

[XOROX]

Фокс Йовович, а физика использует математику как инструмент. Откуда нам знать, что физика имеет корреляцию с действительностью?
Извините, если задаю глупые вопросы, я просто хочу разобраться.

[Фокс Йовович]

Tom_Xor, эксперименты нам на что?

[Сергей]

Физики пользуются математикой лишь с той позиции, что математика дает им инструмент описания действительных процессов. Т.е. поставил физик эксперимент, получил какие-то численные значения, потом подставил в мат. формулу исходные данные, и получил примерно те же самые величины - т.о. теория (мат формулы и высказывания) достаточно полно описывает практику (действительность).
Если бы лучшим инструментом выражения действительности была бы "бумбурматика", то физики пользовались бы ею.

Любая теория рано или позно будет отброшена, т.к. найдуться наблюдательные случаи, которые не согласуются с этой теорией. На руинах старой теории всегда будет новая, которая будет включать старые наблюдения, и объяснять новые.

Ближайшая аналогия: теория гравитации Ньютона, общая теория относительности, и специальная теория относительности.

[XOROX]

Фокс Йовович, разве результаты экспериментов не зависят от математики? Измерительные приборы ведь используют математику.

[XOROX]

Сергей, спасибо за ответ.

[Сергей]

Tom_Xor, измерительные приборы что-то измеряют и показывают это что-то нам в виде чисел.
Внутри измерительных приборов, какие-то величины проходят какие-то преобразования (может по формулам, а может в виде аналогового сигнала), но это нам не важно.
Нам важно то, что результаты (то что приборы показывают), согласуется с тем что дает нам теория. Т.о. в физике говорят что теория верна.

[AVKor]

Математика не может судить об аксиомах.

Аксиомы - составная часть любой математической теории.

Логика - это такая же часть математики, как алгебра, геометрия и т.п.

Частью математики является математическая логика.

Answer 2

[Фокс Йовович]

1. Основания математики - вполне себе раздел математики.
2. Аксиомы на то и аксиомы, чтобы принимать их без сомнений в их корректности. Правильный выбор аксиом приводит нас к математике, которая пока что неплохо согласуется (через физику) с окружающей действительностью.
При этом, практика показала, что от замены аксиом на другие, математический метод никак не страдает, а обогащается и продолжает работать.
3. Теорема Геделя о неполноте, почитайте о ней.

Comments

[XOROX]

Извините, я далёк от математики, уверен, что теорему Гёделя о неполноте не пойму, либо пойму не верно, а если и верно, то это займёт слишком много времени.

Мне лишь интересен вопрос может ли математика доказывать логику. Или это вообще не связанные вещи? В моей картине мира вся математика исходила из логики. Я был абсолютно не прав?

[Фокс Йовович]

Tom_Xor, Логика - это такой же раздел математики, она является формальным инструментом, который применяется при доказательствах.

Есть фундаментальная работа Гильберта, "Основания математики". Там сначала вводится язык логики, а потом с его помощью строго показывается устройство математического аппарата вывода теорем.

Answer 3

[approximate solution]

Математика может судить обо всем, так как всё в этом мире математика(и исходя из нее физика, химия и тд и тп).

в том числе о логике?

Может, так как математика единственная точная наука, которая оперирует понятиями истинности и не ошибается вообще. Физика может ошибаться, и химия, и астрономия. А вот математика в своей сути - либо истина, либо ложь(нельзя сказать наверное правда, или предположительно ложь) и никак иначе. И тоже самое касается всего, что в эту математику входит, в том числе и математическая логика.

Comments

[hint000]

математика единственная точная наука, которая оперирует понятиями истинности и не ошибается вообще

По существу поддерживаю. Но с философской точки зрения математика не должна называться наукой, т.к. не изучает окружающий мир. Математика - язык науки. Любой язык (русский, английский, C++) не может ошибаться вообще, и математика в частности.

[XOROX]

Под основаниями математики я имею все её аксиомы и базовые понятия (которые, кстати, исходят не из формальной системы математики).

С чего вы взяли, что основания математики истины, а следовательно всё то, что исходит из её оснований тоже истинно?

Я имел в виду НЕ суждения об истинности чего-либо в математической системе относительно математической системы.
Я имел в виду суждения об истинности математической системы относительно действительности.

Может ли математика судить о своих основаниях и есть ли в этом смысл?
Она ведь никак не опровергнет свои основания, так как всё в математике исходит из её основ и непротиворечиво ей. Или же я ошибаюсь и она может опровергнуть свои основания?

[approximate solution]

Tom_Xor,@hint000, Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.

Я конечно понимаю что с философской точки зрения можно найти любой контраргумент к любой "претензиии" на истину, но я думаю математика тем и хороша, в отличии от других наук, что как правило если утверждение истинно - через 10 лет не окажется так что все ошибались.

[XOROX]

hint000, если не может, то зачем тогда нужна теорема о непротиворечивости?

[Сергей]

> через 10 лет не окажется так что все ошибались.
approximate solution, на самом деле там тоже не без изъяна.
Раз математику делают люди, то они тоже могут ошибаться.
+ текущее состояние дел такое, что сейчас все науки специализируются. И есть математики, знания которых вообще не пересекаются, Т.о. в каждой специализации "этих специалистов" все меньше и меньше, и т.о. есть вероятность ошибок в доказательствах, которые могут пролезть в дальнейшие рассуждения.

[approximate solution]

Сергей, Тут я не могу не согласится.

[hint000]

Сергей, ошибки в доказательствах можно сравнить с опечатками, не замеченными при наборе текста. Да и предельная строгость математических методов позволяет обнаруживать такие ошибки сравнительно быстро. В других науках ошибочные убеждения могут сохраняться десятки и даже сотни лет. В математике безумно сложно первоначально сформулировать штуку наподобие доказательства великой теоремы Ферма. Но если уж кто-то опубликовал ошибочное доказательство, то ошибку найдут, и счёт будет на дни, максимум на месяцы. Это будет сложно, но не безумно сложно.

[approximate solution]

hint000, Я думаю стоит учитывать что любая математическая модель, доказанная одним человеком - досконально и скрупулезно проверяются коллегией ученных, цель которых опровергнуть доказательство коллеги который "прославился".

После 10-20-100 проверочных итераций - точность доказательств минимизирует возможность ошибки.

[AVKor]

hint000,

Но с философской точки зрения математика не должна называться наукой, т.к. не изучает окружающий мир.

Ерунда. Наука не ограничивается естественными науками.

Математика относится к т.н. формальным наукам.

Answer 4

[AVKor]

Метатеория, Метаматематика

Comments

[XOROX]

А на чём основывается метаматематика и математическая логика?
Я так понял, что метаматематика за основу берёт часть математики.

[AVKor]

Tom_Xor, прочитайте внимательно начало статьи о метаматематике (что это такое в узком и широком смысле).

[AVKor]

Tom_Xor, Вот ещё

Answer 5

[Saboteur]

Может ли математика судить о своих основаниях, в том числе о логике?

У математики нет мозгов, она не может судить.

Есть ли в этом смысл? Может ранее считалось, что есть смысл?

Смысл вещь чисто субъективная и есть только у существ, наделенных сознанием. И они все свое время проводят в поисках смысла.
В самих числах и вообще чем-бы то ни было, смысла нет. Вещи просто существуют, с ними происходят закономерные вещи. Никакой смысл в это не вкладывается.

Comments

[XOROX]

Я имел в виду и уверен, что вы поняли правильно, что «Есть ли смысл доказывать или пытаться опровергнуть основания математики самой математикой».

Под смыслом я имел в виду стоит ли от этого ожидать какой-то положительный результат.

Скажу больше, все слова имеют чисто субъективный смысл и в конечном счёте все определения определяют друг друга. Данный вопрос мне пришёл во время разбора Гегеля (если что я с ним не согласен), от математики я пока что далек.

[Saboteur]

Математика - наука идеализированная, она не относится к реальности, и следовательно чтобы в принципе существовать, она базируется на аксиомах.

Аксиомы - это вещи, которые приняты как факты, на них основаны определенные соглашения.
Все остальное - теоремы, которые вы можете пробовать доказывать, и следует отличать где аксиома, а где теорема.

Eсли в математике принята аксиома, что две параллельные прямые не пересекаются, значит они не пересекаются, и доказывать это не нужно.
Это в физике может быть искривление пространства, квантовые флуктуации и другие вещи. А в математике - аксиома не требует доказательства, ибо без аксиом не будет существовать математики

[XOROX]

Saboteur, то есть аксиомы не опираются даже на логику? Я раньше считал, что аксиомы должны быть построены по законам логики.
А то что параллельные прямые не пересекаются, это не аксиома, это синонимы)
Можно ли создать математику построенную на нелогичном выражении?

[Сергей]

> А то что параллельные прямые не пересекаются, это не аксиома, это синонимы)
Можно ли создать математику построенную на нелогичном выражении?

утверждение неверно, см геометрия Лобачевского, геометрия Римана.

[AVKor]

Tom_Xor, Вопрос выбора аксиом - это "философский" вопрос. По идее, главное, чтобы система аксиом была непротиворечивой. Но "с потолка взятая" она может быть никому не интересной.

[XOROX]

Сергей, не совсем пониманию чем не верно. Они ведь рассматривают вполне логичные системы.

[XOROX]

AVKor, а в чем заключается противоречивость? В том, что система аксиом позволяет высказать утверждение нарушающее закон исключённого третьего в логике? Но логика ведь тоже из аксиом, можно ведь просто отменить закон исключённого третьего?

[AVKor]

Tom_Xor,

а в чем заключается противоречивость?

Аксиома

[XOROX]

AVKor, выше мне сказали, что аксиомы можно заменять на иные и математика от этого только «обогощается».

[AVKor]

Tom_Xor,

выше мне сказали, что аксиомы можно заменять на иные

Произвольным образом это не делается. Если аксиомы не выбраны исходя из неких осмысленных соображений, то такая теория не будет никому интересна.

[XOROX]

AVKor, но интересность ведь ничего не значит. Следовательно все основано на непротиворечивости, которая основана на законе исключённого третьего? А откуда известно, что третье исключено? Почему не на законе исключённого второго? Или ещё на основе какого-либо «закона»?

[AVKor]

Сергей,

утверждение неверно, см геометрия Лобачевского, геометрия Римана.

Это не утверждение, а определение, причём верное.

[XOROX]

AVKor, выходит что математика опирается на логику?

[AVKor]

Tom_Xor,

но интересность ведь ничего не значит.

Как раз значит. С потолка (от балды) никто системы аксиом не выбирает.

Следовательно все основано на непротиворечивости

Нет, это необходимое, но не достаточное условие для построения теории.

[AVKor]

Tom_Xor,

выходит что математика опирается на логику?

Ранее уже был ответ на этот вопрос. См. про метаматематику.

[XOROX]

AVKor, а почему оно необходимо? Вдруг на самом деле оно не нужно?

[XOROX]

AVKor, там написано, что в широком смысле на что угодно опирается.

[AVKor]

Tom_Xor,

почему оно необходимо? Вдруг на самом деле оно не нужно?

Почитайте что-нибудь о методологии математики.

там написано, что в широком смысле на что угодно опирается.

Из статьи: "раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов". Вопрос был, опирается ли математика на логику. Ответ: да.

[XOROX]

AVKor, просто для меня словосочетания «раздел чего-то», особенно в википедии, и «опирается на» несут разные смыслы. Спасибо за ответы, но, к сожалению, целостной «непротиворечивой» картины у меня в голове не сложилось. Думаю мне стоит изучить «основы» математики, а уже после задаваться вопросами об «основаниях»)

[Saboteur]

Tom_Xor, Аксиомы определяют математическую терминологию.

Давай возьмем физику.
Есть определение атома. Но что такое атом - мы на самом деле не знаем. Когда-то была открыт атом. Потом было понемногу открыта структура атома - ядро из нейтронов и позитронов и электроны на орбите, потом можно колупать из чего состоят нейтроны, позитроны и электроны и по каким принципам они работают. И нет конца-края пониманию что это такое. Поэтому что такое атом - известно "примерно", это понимание со временем улучшается.

А аксиома - это соглашение сразу с максимальным пояснением. То есть математика - абсолютная наука. Нам не нужно искать из чего состоят прямые, или как параллельные прямые могут пересекаться - аксиома уже говорит что не могут, и есть определение прямых. На этом все.

Логика выстраивается на базе этих соглашений, а не на базе открытий.
Открытиями могут быть доказательства теорем, гипотез, и так далее.
Но они не углубят понимание аксиом и базовых вещей.

[Saboteur]

Но логика ведь тоже из аксиом, можно ведь просто отменить закон исключённого третьего?

Логика не из аксиом.
Логика это наука о причинах и следствиях. О том, как правильно определять причины определенных следствий или искать по каким причинам произошло следствие.
Математика по своей естественно близка к логике, но это не синонимы.

[AVKor]

Tom_Xor, Ответами на вопросы тут не разберётесь. Только каша в голове образуется. Почитайте литературу.

[XOROX]

Вы говорите, что логика основывается на соглашениях, а после заявляете, что логика НЕ основывается на аксиомах.
Это уже какая-то Гегелевская философия, отрицающая классическую логику)
Кстати, у молекул нет ядер.

[AVKor]

Saboteur,

Нам не нужно искать из чего состоят прямые, или как параллельные прямые могут пересекаться - аксиома уже говорит что не могут, и есть определение прямых.

Параллельные - это по определению не пересекающиеся. А не по аксиоме. А определения прямых нет.

[Saboteur]

Tom_Xor, "Кстати, у молекул нет ядер" имелись ввиду атомы вещества.
Логика - это наука о причинно-следственных связях. Она основывается НЕ ТОЛЬКО на аксиомах.
Просто не нужно путать математику и логику.

[xmoonlight]

Saboteur,

Просто не нужно путать математику и логику.

Нельзя не путать! В этом весь парадокс!)

[XOROX]

А почему это она содержит не только аксиомы, которые принимаются, как я понял, на веру? К тому же логика это часть математики.

[Saboteur]

Tom_Xor,

А почему это она содержит не только аксиомы, которые принимаются, как я понял, на веру? К тому же логика это часть математики.

Ты или тупой или умышленно троллишь.
Аксиомы не принимаются на веру. Математика - ВЫДУМАННАЯ наука, не соответствующая природе вещей. Чтобы существовать, для нее нужно придумать законы, на которых она работает. Поэтому существуют аксиомы - описывающую вселенную для математики. Их несколько - Eвклидова, Лобачевского, Римана.

Логика это не часть математики. Логика - отдельная наука. Непонятно зачем ты тащишь их вместе а потом путаешься в терминах. Или по-твоему, если у человека 2 глаза, то биология это тоже часть математики?
В данном вопросе ты пытаешься разобраться с терминами.
Если брать терминологию, то это разные науки. Тебе стоит сперва для самого себя уяснить какой вопрос ты хочешь выяснить и четко его сформулировать, потому что с каждым комментарием ты отходишь от своего вопроса в сторону, а потом удивляешься что тебе пишут противоречивые ответы.

[XOROX]

Имелось в виду, что математика использует логику, следовательно опирается на неё. Биология также использует логику, ибо все теории строятся так, чтобы они были логичными.

Аксиомы принимаются на веру.

[XOROX]

Saboteur, и вы говорите о человеке, а не о биологии в своём утверждении.

[Saboteur]

Tom_Xor,

Аксиомы принимаются на веру.

Еще раз. Правильно используйте терминологию.
Аксиомы не принимаются на веру. Аксиомы создают конкретную математику.
Могут быть разные математические вселенные со своими законами, и следовательно будут по-разному работать математические тождества.

[XOROX]

Saboteur, я это и имел в виду.

Answer 6

[xmoonlight]

Может ли математика судить о своих основаниях и есть ли в этом смысл?

Разумеется.
Главное условие - замкнутость системы, иначе - нет. Ввиду большого количества существующих проблем можно сделать вывод о типе системы. А узнав тип, точно определить направление для поиска смысла.

Comments

[XOROX]

Имелось в виду:
«Можно ли доказать или опровергнуть аксиомы логики и математики с помощью средств логики и математики».

Не совсем ясно про какой «тип» речь и о каком «смысле» вы говорите.

[XOROX]

Мне уже сказали, что аксиомы опровергнуть и доказать нельзя, но можно строить новые системы математики с другими аксиомами.

Математика использует логику при построении любых суждений. Математическая логика изучает логику с помощью математики.
И вот замкнутая система, в которой все, как я понял основано на «законах», логики, которые почему-то нельзя менять. По крайне мере эта информация основана на ответах в данном посте и википедии.

К сожалению, я только сильней запутался.

[xmoonlight]

Tom_Xor, можно, если все свойства объектов доказательной системы взаимосвязны.

[XOROX]

xmoonlight, и на чем данная взаимосвязанность основывается?

[xmoonlight]

Tom_Xor, зачем вообще это? Цель-то какая?

[XOROX]

xmoonlight, цель философская, заключается в понимании основ логики. Того откуда они следуют и может ли быть иначе. Логика ведь, по сути, основана на интуитивном мышлении человека. А раз логика имеет интуитивный, эмпирический, подход, то вся наука имеет такой же подход. В том числе все формальные науки.

[xmoonlight]

Tom_Xor,

цель философская, заключается в понимании основ логики. Того откуда они следует и может ли быть иначе.

Любые основы логики могут быть проверены кем угодно и в любой момент времени. На то они и основы.
То, что не личный опыт и проверить нельзя - это чужие знания (даже если и научные): им можно или доверять, или нет (и проверять, если есть возможность).

Логика ведь, по сути, основана на интуитивном мышлении человека.

Она основана на анализе информации на данном уровне развития (знания, опыт, интеллект).

[XOROX]

xmoonlight, и как же можно проверить законы логики? Да, они соответствуют классическому мышлению человека, но почему считается, что данное мышление «правильное»?

[xmoonlight]

Tom_Xor, Как бы сами ответили?

[XOROX]

xmoonlight, никак нельзя проверить, а «правильным» такое мышление названо только потому, что оно заложено в большинство людей от природы.

Но я не утверждаю, я предполагаю, я не вижу всей системы, я здесь чтобы мне помогли понять, так это или нет.

[XOROX]

xmoonlight, вообще считаю, что никаких правильных объектов нет, по крайне мере без относительности к какой-либо системе.

[xmoonlight]

Tom_Xor, Вот! Верно мыслите!
А теперь, перечитайте мой ответ.

[XOROX]

xmoonlight, то есть современная наука это идеализм смешанный с сенсуализмом?

[xmoonlight]

Tom_Xor, я точно не уверен, но возможен любой вариант.