Как интегрировать по частям не имея аналитической первообразной?

Question

[Yermack]

Имеется нехорошая функция F(x) для которой нельзя (или нецелесообразно) получить первообразную. Решаем численно. В некоторой задаче требуется многократное вычисление некоего функционала содержащего
\int_O F(x) dx
и
\int_O x * F(x) dx
Есть соблазн для второй формулы воспользоваться интегрированием по частям

\int_O x * F(x) dx = x * \int_O F(x) dx - \int_O \int F(x) dx dx

Как правильно проделать этот трюк? Или есть вариант получше?

Answer 1

[Николай Чуприк]

Ну а что там насчёт производной dF/dx, может там попроще получится? Может быть, будет лучше взять интеграл по частям "в другую сторону". В дифференциалах:

xFdx = (просто показываю скобками) = F(xdx) = (по частям) = x^2/2 *dF - d( Fx^2/2 ).

Comments

[Yermack]

F(x) - на самом деле = exp( ax^2 - ibx + c ). Были б бесконечные пределы, получился бы Гауссов интеграл, да нет вот. Если брать производную, то оттуда всякая мерзота будет лезть. Хотя Вы натолкнули на мысль, что если это проделать пару раз, может получится какая-нибудь рекуррентная формула. Спасибо за наводку

[Николай Чуприк]

Yermack, Мне кажется, что вообще первым делом надо перейти к другой переменной. И жизнь сразу наладится:

ax^2 - ibx + c = z^2 - m^2,

где z — переменная, а m — константа.

z = x - ib/2
m = i * sqrt( b^2 + 4ac ) / 2

На всякий случае проверьте, мог ошибиться, не перепроверял.

[Yermack]

Николай Чуприк, ахаха, довести до полного квадрата, первый курс - посыпаю голову пеплом. Спасибро