Можно. Самое главное, мы не подключаем php-скрипт, а отправляем данные этих форм на обработку этим php-скриптом. Так проще прийти к пониманию, как оно работает.
Чтобы php-скрипт мог воспринимать данные первой формы, он должен уметь пренебрегать наличием параметра user_car.
А делается это таким образом:
строчка:
$car = $_POST['user_car'];
исправляется на:
$car = array_key_exists('user_car', $_POST) ? $_POST['user_car'] : null;
и другая строчка:
$mail->Body = '' .$name . ' хочет перегнать машину ' .$car. ' из ' .$from. ' в ' .$to. '. <br> Вот его номер телефона ' .$phone;
исправляется на:
$mail->Body = $name . ' хочет перегнать '.(is_null($car) ? 'неуточненную машину' : 'машину ' .$car). ' из ' .$from. ' в ' .$to. '. <br> Вот его номер телефона ' .$phone;
PS:
Чтобы вам не прислали js-инъекцию на почту, все принимаемые параметры, из которых формируется текст письма, следует экранировать.
$name = htmlspecialchars($_POST['user_name']);
$phone = htmlspecialchars($_POST['user_phone']);
$car = array_key_exists('user_car', $_POST) ? htmlspecialchars($_POST['user_car']) : null;
$from = htmlspecialchars($_POST['from']);
$to = htmlspecialchars($_POST['to']);