Приведенный код напрямую не связан с технологией ajax. Он всего лишь подставляет в элемент с id-шником lp-download-pdf свойства href (по наличию этого свойства можно догадаться, что это элемент-ссылка) и download, затем, принудительно программно запускает событие клика, словно по элементу нажал пользователь.
Как браузер отреагирует на двойное "роботизированное" нажатие на ссылку с одним и тем же href можно только догадываться. Можно попытаться сделать ссылку при каждом нажатии уникальной.
Подставьте на этом этапе какой-нибудь рандомный параметр к ссылке:
.attr('href', string.trim() + "?random_param=" + Math.round(Math.random() * 1000))