Можно было бы сохранять все запросы из поисковой формы на сайте в базу данных и собирать статистику самому, но ведь стоит метрика. Тем более в гугле есть такое
https://support.google.com/analytics/answer/101226...
Порылся в в доках метрики, нашёл только
https://yandex.ru/support/metrika/behavior/web-for... но это просто запись действий пользователя.
Как вариант, можно было по сабмиту формы поиска пулять данные яндексу, но нашёл только такое onclick="yaCounterXXXXX.reachGoal('goalName'); return true;" как свои данные передать, в данном случае поисковый запрос, не понятно